数学组陈余武论文:数学分类思想的生成
2012-04-21 10:50:01   来源：   评论：0 点击：

数学分类思想的生成
摘要：本文主要围绕对数学分类思想的认识；分类思想解题的思维过程分析；分类讨论的动因与讨论的方法；分类讨论方法的教学为基础，展开了对数学分类思想的生成研究。
关键词：分类思想    分类讨论   动因    生成
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。
本文将从如下三个方面对数学分类思想的生成进行研究。
一、分类思想解题的思维过程分析
在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：
1、要明确是否需要分类讨论；
2、确定分类的对象；
3、确定分类的标准；
4、逐类逐级分类讨论；
5、综合、归纳结论。
二、明确分类讨论的动因与讨论的方法
运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的动因。即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决。大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系。因此运用分类讨论方法解题的关键就是思辨清楚讨论的动因与讨论的方法，就是为什么要讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框架确定了，解题就严密完整、叙述就条理分明。一般地说，当我们研究的问题是下列四种的情形时（即：分类讨论的划分标准），可以考虑使用分类的思想方法来解决问题。掌握好以下四种情形的分类讨论，学生就能知道分类讨论问题并不怎么神秘，当碰到问题时基本上能够抓住分类讨论的动因从容应答了。
（一）涉及到分类定义的概念
有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法。
例1、若|a|=3，|b|=5，则|a+b|=         
分析：与绝对值相关的问题，一般要去掉绝对值号，这就要根据绝对值的概念进行分类。
解：当a、b同号时，|a+b|=8；当a、b异号时，|a+b|=2。
又如：学习一元二次方程, 根的判别式时，对于变形后的方程:(x-p)²=q用两边开平方求解，需要分类研究q 大于0，q等于0，q小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题 q 的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。
（二）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则
有理数的大小比较法则；有理数的加法、乘法、除法、乘方法则；有理数乘法运算律之际的符号与因数的符号的关系；添括号、去括号法则；方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正（负）数，不等号的方向不（改）变；一元二次方程的求根公式；一元二次方程根的判别式；直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较）；两圆的位置关系（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较）；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质等。
当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法。
例2、函数y=kx+3 (－1≤x≤1,且k≠0)的图象上的点都在x轴的上方,则k的取值范围是什么？
（三）由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论
数学本身的产生与发展充满了朴素的辩证唯物主义思想，揭示了唯物辩证法的许多基本规律，如量变到质变等。本类分类讨论问题就是揭示了唯物辩证法中的量变到质变这一基本规律。在本类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、系统的分类，并能正确求解。这是建立在有良好的知识结构和灵活、开阔的思维基础上的，教学中要注意培养学生一丝不苟的学习精神、严谨的科学态度和辩证唯物主义的观点，充分发挥学生的聪明才智。
例3、关于x的方程(m-4)x²-(2m-1)x+m=0，当m为何值时，方程有实根？
分析：方程有实根，即方程有两个实根或一个实根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次系数须分类讨论。
解：Ⅰ）当m-4＝0，即m＝4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根；Ⅱ）当m-4≠0，即m≠4时，原方程为一元二次方程，其中，即m≥且m≠4时，方程有两个实根。
综上所述，方程有实数根的条件是m≥
（四）由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论
正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形。画图能力和空间想象能力也是数学中的重要能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，教学中应注意对学生画图能力和空间想象能力的培养，让学生多操作、多思考，提高学生的数学能力。
例4、（2005年南京市中考试题）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？   
 
 
（2）当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
分析：本题主要考察直线与圆相切的位置关系，在半圆O向右运动的过程中，应分类考虑直线与圆相切时的四种情况。（如下图：①、②、③、④）

初中数学中的分类讨论问题主要是以上四种动因的分类讨论。抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率。
三、灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学
分类讨论思想是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，在知识发展的各个阶段所反映出不同的层次性。在数学教学中，我们既要重视数学知识应用阶段的教学，更要重视形成阶段的教学，把数学思想方法的训练贯穿于教学始终，充分揭示数学思维过程，将“发现过程中的数学”返璞归真地教给学生，帮助他们了解问题的本来面目，回复问题的本源。
（一）在概念教学中渗透分类讨论意识和原则
在教学中，要让学生对涉及到分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握。首先，教师应对初中数学中的概念有全面、系统、完整的认识，尤其是涉及到分类讨论思想的概念。在教学中结合教材，创设情景，予于强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。
在概念教学中，要特别注重揭示概念的产生的过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字，词，尤其对容易出现偏差的、相似的、相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。使学生牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念。要达到这一目的可以采用讨论式归纳出概念、教师加以归纳精炼和增加变式训练的教学方法。
（二）在法则、定理、公式导出过程中体现分类讨论思想
有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0，不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证，这就需要学生在自主画图测量、分析讨论方可以回答的问题，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，就无法体会分类证明的目的和优点。
在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。
（三）在单元小结、专题讲座中提炼与概括分类思想
在单元小结时，一般的做法都是通过归纳成条文或画图表概括等手段来罗列某个单元的知识点，学生在听知识梳理课时往往表现得漫不经心、没精打采的。要在单元复习过程中切实提高学生思维素质，出路在于不仅要教会学生梳理知识，更要教会学生用数学思想方法进行“反思”。由于数学学习中，有时同一内容可体现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法如分类思想又常常分布在许多不同的知识点中。在单元小结中注意指导学生把常用的数学方法提高到思想方法的高度来认识，注意把数学知识所揭示的本质规律加以提炼、概括，使学生真正从思想方法上去掌握。在讲座中系统讲清分类讨论思想方法的内涵、外延、作用、功能等，熟悉分类讨论思想出现的常见题型及特点，从而进一步在提炼与概括中把握分类讨论的思想。
（四）在解题规律过程中突出与强化分类讨论的思想
美国数学教育家波利亚说：“问题是数学的心脏，学数学就意味着解题。”要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在概括解题规律的过程中，如何突出数学思想方法就成了数学教学的一个很重要的任务。
就分类讨论思想方法而言，在解题规律过程中以下两种情况居多。
一是由几何图形的可变性引起的讨论。在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大困难，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采取分而治之的方法来各个击破。
在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：
1、等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？
2、⊙O的半径为5cm，AB和CD为⊙O中的两条平行弦，求AB和CD间的距离？
二是由数量大小不确定引起的讨论。在计算或推理过程中，遇到数量大小不能确定时应进行讨论。
如解关于x的不等式：x²-(a-1)x-a≤0,此二次不等式的解应根据a与-1的大小来确定。
分类讨论的思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，它的灵活掌握是需要有个潜移默化的过程，是要在多次理解和反复应用的基础上逐步形成的，它是数学教学中的长期任务。
总之，在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类及分类的基本原则（分类标准要统一，不重复不遗漏），明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法。在体会分类的完整性和严谨性中训练了学生思维的条理性和目的性，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，从而提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质，实现学生数学分类思想的生成。